Enigmas

[Durana]

Dois mísseis estão separados por 41.620 quilômetros e apontados directamente um para o outro. Um está a viajar a uma velocidade de 38.000 km/h e o outro, a 22.000 km/h.

Qual a distância entre os mísseis, dois minutos antes da colisão?

Aposto nos 2.000 Km

[dmg]

Dois mísseis estão separados por 41.620 quilômetros e apontados directamente um para o outro. Um está a viajar a uma velocidade de 38.000 km/h e o outro, a 22.000 km/h.

Qual a distância entre os mísseis, dois minutos antes da colisão?

Aposto nos 2.000 Km

Certo, mas o pessoal gostaria de saber como chegas-te a esse numero !!!! Acho eu !!!!

[Durana]

Dois mísseis estão separados por 41.620 quilômetros e apontados directamente um para o outro. Um está a viajar a uma velocidade de 38.000 km/h e o outro, a 22.000 km/h.

Qual a distância entre os mísseis, dois minutos antes da colisão?

Aposto nos 2.000 Km

Certo, mas o pessoal gostaria de saber como chegas-te a esse numero !!!! Acho eu !!!!

Só não disse para não estragar o enigma aos outros mas então aqui vai:

1º Achei o tempo que demoravam a colidir com a seguinte equação:
t é o tempo que demoram a colidir em horas pois a velocidade está em km por horas
38.000t + 22.000t = 41.260
t = 0,68766 horas que são 41,26 minutos

2º Retirei dois minutos a esse tempo e vi quantos km tinham percorrido os mísseis aquela velocidade
t1 é o tempo da colisão menos 2 minutos
t1 = t - 2 = 41,26 - 2 = 39,26 minutos = 0,65433 horas

d1 é a distância percorrida pelo míssil 1
d1 = 38.000*0,65433 = 24864,66

d2 é a distância percorrida pelo míssil 2
d2 = 22.000*0,65433 = 14395,33

d é a distância entre os dois mísseis 2 minutos antes da colisão
d = 41.260 - (d1+d2) = 41.260 -39.260 = 2.000 km

[Luís Telha]

Número palíndromo é aquele que é igual quer seja lido de frente para trás ou de trás para a frente.
Por exemplo, 272 é um número palíndromo.
Existem 90 palíndromos de três dígitos.
Quantos palíndromos existem com 5 dígitos?

Considere-se p*=palíndromo.

Se existem 90 p* de 3 dígitos, procuram-se as combinações possíveis para cada um deles, de forma que

x(1 a 9) (nº de combinações de p* de 3 dígitos) x(1 a 9)

Substituindo:
x (1 a 9) = 9 possibilidades
(nº de combinações de p* de 3 dígitos) = 90 - como dado no enunciado do problema

Ou seja, para cada p* de 3 dígitos, temos 9 possibilidades, para que o 1º e 5º dígito sejam iguais:
90 x 9 = 810.

Isto, não considerando a colocação do zero, o que seria x(0 a 9). Neste caso, 90x10=900. Porém, esta situação não se coloca pois para se seguir a lógica do enunciado, se se considera 90 hipóteses para 3 dígitos, não se está a colocar o zero no início e no fim, ou seja os casos 010 e 090, por exemplo, não são válidos. Caso fossem, para 3 dígitos teriamos 10x10 hipóteses de números p*, e não 90.

Para 7 dígitos far-se-á o mesmo raciocínio: 810 x 9 = 7290.
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Pergunta: Qual será então a fórmula para um número com N dígitos (com N ímpar), que dá o número de p* possíveis?

Ou seja, a ideia é que dado um número com N algarismos (N ímpar para que faça sentido a definição de palíndromo, ou seja, o número "espelho"), possamos rapidamente calcular quantos palíndromos tem esse número.

Considerando:
p* = palíndromo; N= quantidade de algarismos, ou dígitos, de um número; e que no meio e cada número temos sempre 10 hipóteses, de 0 a 9.

basta ir multiplicando por 9:

Para N=3_____10x9_____ou seja, 10x(9 elevado ao exponencial 1)
para N=5_____10x9x9___ou seja, 10x(9 elevado ao exponencial 2)
para N=7_____10x9x9x9_ou seja, 10x(9 elevado ao exponencial 3)

Temos assim 9 elevado a determinado exponencial.

A solução passa portanto por encontrar a fórmula que relacciona o N com o exponencial de nove respectivo.

Fazendo o exercício acima repetidas vezes, por exemplo até N=10 e olhando para os exponenciais de 9, reparei que, para um determinado N (por exemplo 7) a soma do seu exponencial de 9 (3 no caso de N=7) com o exponencial de 9 do N anterior (o N anterior de 7 é 5, sendo o seu exponencial 2), é sempre igual ao N anterior.

Explicando de outra forma: O exponencial de 9 de N, mais o exponencial de 9 de N-2, é igual a N-2.

Assim:
A quantidade de palíndromos de um número com N algarismos é igual a: 10 x (9 elevado a y), em que (y-1) + y = N-2.

Dois exemplos para exemplificar:

Para N=7
Quantidade de palíndromos para número com 7 algarismos = 10 x (9 elevado a y)
em que (y-1) + y = N-2
ou seja, (y-1) + y = 5, resolvendo a equação: 2y-1=5 <=> 2y=6 <=> y=6/2 <=> y=3
Portanto, para N=7, o número de palíndromos é 10 x (9 elevado a 3), ou seja 10x9x9x9 = 7290

Fazendo para N=53
Quantidade de palíndromos para número com 53 algarismos = 10 x (9 elevado a y)
em que (y-1) + y = N-2
ou seja, (y-1) + y = 51, resolvendo a equação: 2y-1=51 <=> 2y=52 <=> y=52/2 <=> y=26
Portanto, para N=53, o número de palíndromos é 10 x (9 elevado a 26), ou seja 10x (26 noves a multiplicarem-se entre si)

Abraço,
LT